Question

已知a是实数，函数y=（a²-1）x+a（-1≤x≤1），若|a|≤1，求证：|y|≤

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4

．

Answer 1

分析：分类讨论：当a=±1，则y=±1，得到：|y|≤

5

4

；当-1＜a＜1，y随x的增大而减小，而-1≤x≤1，当x=-1，y有最大值，当x=1，y有最小值，分别得到关于a的二次函数，利用二次函数的最值问题可求出最大值为

5

4

，最小值为-

5

4

，都满足：|y|≤

5

4

．

解答：证明：当a=±1，y=±1，则|y|＜

5

4

；
当-1＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴y=（a²-1）x+a，y随x的增大而减小，而-1≤x≤1，
∴当x=-1，y有最大值，此时y=-a²+a+1=-（a-

1

2

）²+

5

4

，
即a=

1

2

时，y的最大值为

5

4

，满足|y|≤

5

4

．
当x=1，y有最小值，此时y=a²+a-1=（a+

1

2

）²-

5

4

，
即a=-

1

2

时，y的最小值为

5

4

，满足|y|≤

5

4

．
所以若|a|≤1，有|y|≤

5

4

．

点评：本题考查了一次函数的增减性：y=kx+b（k≠0），当k＞0，y随x的增大而增大，k＜0，y随x的增大而减小；也考查了分类讨论思想的应用以及二次函数最值的求法．