Question

如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK=KC，求的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

Answer 1

解：（1）∵BK=KC，
∴=，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴==；

（2）当BE平分∠ABC，AE=AD时，AB=BC+CD．
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，
∵EF=EG+GF，
即：AB=BC+CD；
∴AB=BC+CD；
同理，当AE=AD（n＞2）时，EF∥AB，
同理可得：==，则BG=•BC，则EG=BG=•BC，
==，则GF=•CD，
==，
∴+•CD=•AB，
∴BC+CD=（n-1）AB，
故当AE=AD（n＞2）时，BC+CD=（n-1）AB．
分析：（1）由已知得=，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用=求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；
当AE=AD（n＞2）时，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．
点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．