Question

16．如图，⊙M交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点．交y轴于C（0，-3），D（0，1）两点．
（1）求点M的坐标；
（2）求弧BD的长．

Answer 1

分析 （1）过M点作ME⊥AB于E，MF⊥CD于F，连接MB，MC，由垂径定理得出EB=$\frac{1}{2}$AB=2，得出OE=1，同理可得OF=1，证四边形OEMF为正方形，得出EM=EF=1，即可得出结果；
（2）连接MD，BC，由勾股定理可得BM=$\sqrt{5}$，证出∠BCO=45°，得出∠BMD=90°，由弧长公式即可得出结果．

解答 解：（1）如图1所示，过M点作ME⊥AB于E，MF⊥CD于F，连接MB，MC，
则EB=$\frac{1}{2}$AB=2，四边形OENF是矩形，
∴OE=1，
同理可得OF=1，
∴OEOF，
∴四边形OEMF为正方形，
∴EM=EF=1，
∴M（1，-1）；
（2）连接MD，BC，如图2所示：
由勾股定理可得BM=$\sqrt{5}$，
∵∠BOC=90°，OB=OC，
∴∠BCO=45°，
∴∠BMD=90°，
∴弧BD的长=$\frac{90π×\sqrt{5}}{180}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$π．

点评 本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理、正方形的判定与性质、圆周角定理、弧长公式等知识；熟练掌握垂径定理，由圆周角定理求出∠BMD是解决问题（2）的关键．