Question

在平面直角坐标系中，以点P（3，0）为圆心，以6为半径的圆与y轴的正半轴相交于点C，与x轴分别交于A、B两点．
（1）试确定经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在BC上确定一点D，使BD：CD=AB：AC，并给出证明；
（3）设AD交y轴于E，过E作EF∥AB，交BC于F．求证：2EF=AB；
（4）延长AD交⊙P于点G，求证：△CDG≌△EDF．

Answer 1

（1）解：易求得A（-3，0）、B（9，0）、C（0，3）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，则有：

解得：
∴抛物线的解析式为：y=-x²+x+3．

（2）解：由题可得：∠CAB=60°，∠ABC=30°
作∠CAB的平分线AD交OC于E，交BC于D，D点即为所求的点，
易证：AD=BD，△ACD∽△BCA
∴CD：AD=AC：AB
即BD：CD=AB：AC

（3）证明：由题可得：AE=2，AD=4
∴E为AD的中点
∵EF∥AB
∴EF是△ABD的中位线
∴2EF=AB．

（4）证明：由题可得：∠ECD=∠CED
∴CD=ED，∠DCG=∠DEF，∠CDG=∠EDF
∴△CDG≌△EDF．
分析：（1）已知了圆的半径和圆心的坐标即可求出A、B两点的坐标，AB为直径则∠ACB=90°，根据射影定理可求出OC的长，然后根据A、B、C的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）由（1）中A、C、B三点坐标不难得出∠ACB=60°，∠ABC=30°，如果作∠CAB的角平分线，那么D就是∠CAB的角平分线与BC的交点．此时∠BAD=∠ABD=30°，AD=BD，而根据相似安吉县ACD和BCA可得出AD：AB=CD：AC，将相等的线段进行置换即可得出本题所求的结论．
（3）在直角三角形EOA中，根据∠EAO=30°以及OA的长，可求出AE的长，根据（2）的结果和BC的长不难求出BD即AD的长，可发现AE=DE，过E作EF∥AB，那么EF就是△ABD的中位线，因此EF=AB．
（4）由于∠ECD=∠CED=∠AEO=60°，因此△CED是等边三角形，CD=DE，由此就不难的得出两三角形全等了．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理等重要知识点，综合性强，能力要求较高．