Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0）、与y轴交于点C．点M，Q分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P．当t＝_____时，△APQ的面积S有最大值，为_____．

Answer 1

【答案】； ．

【解析】

把A，B的坐标代入y＝ax2+bx+4求得抛物线的解析式，①当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，得出，用含t的式子表示出PM，AQ，然后求出面积S的表达式，利用配方法求出最值；②当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，同①用含t的式子表示出PM，AQ，然后求出面积S的表达式，利用配方法求出最值即可．

解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：

，解得：，

∴抛物线的解析式是：y＝﹣x2+x+4，

∴C（0，4），对称轴为x＝1，

∴AO＝2，CO＝BO＝4，AB＝AO+BO＝6，

①当0＜t≤2时，

∵MP∥CO，∴△AMP∽△AOC，

∴，∴PM＝＝2t，

又AQ＝6﹣t，

∴S＝PMAQ＝×2t（6﹣t）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，

当t＝2时，S取最大值，最大值为8；

②当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，

则FP∥BO，∴△COB∽△CFP，

∵CO＝OB，∴FP＝FC＝t﹣2，∴PM＝OF=4﹣（t﹣2）＝6﹣t，

又AQ＝4+（t﹣2）＝t+1，

∴S＝PMAQ＝（6﹣t）（t+1）＝﹣t2+4t+3＝﹣（t﹣）2+，

当t＝时，S取最大值，最大值为，

综上所述，当t＝时，S取最大值，最大值为．

故答案为：；．