Question

【题目】如图所示，以的边为直径作，点在上，是的弦，，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3），，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC，首先根据题意得出，由此证明，然后利用平行线性质进一步得出，据此即可证明结论；

（2）根据为直径可知，然后进一步利用进行等量代换，从而得出，据此进一步即可证明结论；

（3）首先在Rt△BFG中利用勾股定理得出BF的长，然后根据平行线性质结合题意得出，再利用三角函数在Rt△CFE中求出EF的长，据此进一步计算即可得出答案.

（1）证明：

如图，连接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是的切线；

（2）证明：

∵为直径，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴

∵，

∴，

∴；

（3）∵，

∴△BFG为直角三角形，

∵在Rt△BFG中，，，

∴，，

∵，

∴，

在Rt△CFE中：，

，

∴，

∴．