Question

2．已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；

（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；
（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当线段DG=$\sqrt{2}$时，求AE的值．

Answer 1

分析 （1）作AH垂直于BC，垂足为H，如图1所示，由∠B=∠BCD=45°，得到三角形ABH为等腰直角三角形，由等腰梯形的两底之差的一半求出BH的长，即为AH的长，由BC-BH求出HC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的长即可；
（2）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例列出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；
（3）分两种情况考虑：当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，同理求出AM的长，进而求出MC的长，由CD-DG求出GC的长，根据GP与MD平行，由平行得比例求出PM的长，由DM与EP平行，根据平行得比例，求出DE的长，根据AD+DE求出AE的长；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同理求出DE的长，由AD-DE求出AE的长即可．

解答 解：（1）作AH⊥BC于点H，如图1所示：

∵∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，
∴BH=AH=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\frac{1}{2}$×（9-3）=3，
∴BH=AH=3，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CH=BC-BH=9-3=6，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+H{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，
又∠APE=∠B，
∴△ADP∽△CAB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AP}{BC}$，即$\frac{3}{3\sqrt{5}}$=$\frac{AP}{9}$，
∴AP=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；
（2）如图2所示，

∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，
∵∠APE=∠B，
∴△APE∽△CBA，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AP}{BC}$，即$\frac{3+y}{3\sqrt{5}}$=$\frac{x}{9}$，
∴y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x-3（$\frac{9\sqrt{5}}{5}$＜x≤3$\sqrt{5}$）；
（3）分两种情况考虑：
①当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，
由（1），同理可得AM=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
∴CM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵DG=$\sqrt{2}$，CD=AB=3$\sqrt{2}$，
∴CG=2$\sqrt{2}$，
∵GP∥DM，
∴$\frac{CG}{DG}$=$\frac{CP}{MP}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}-MP}{MP}$，
∴MP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵DM∥EP，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AM}{MP}$，即$\frac{3}{DE}$=$\frac{\frac{9\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，
解得：DE=$\frac{2}{3}$，
∴AE=AD+DE=3+$\frac{2}{3}$=$\frac{11}{3}$；
②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，

同①可得DE=$\frac{2}{3}$，
∴AE=AD-DE=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行线等分线段成比例，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．