Question

【题目】如图，已知数轴上点表示的数为9，是数轴上一点且.动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 ()秒．

发现:

(1)写出数轴上点表示的数 ，点表示的数 (用含的代数式表示)；

探究:

(2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 若点、同时出发，问为何值时点追上点？此时点表示的数是多少？

(3)若是线段靠近点的三等分点，是线段靠近点的三等分点.点在运动的过程中， 线段的长度是否发生变化？在备用图中画出图形，并说明理由．

拓展:

(4)若点是数轴上点，点表示的数是，请直接写:的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）-6；9-5t；（2）点P运动5秒时，在点C处追上点Q，P点表示的数是-16；（3）线段MN的长度不发生变化，其值为1；画出图形，理由见解析；（4）15．

【解析】

(1）设出B点表示的数为x，由数轴上两点间的距离即可得到x的方程，解方程即可得出x，由路程=速度×时间可得出点P走过的路程，再求得点表示的数；
(2）设经t秒后P点追上Q点，根据题意可得，关于t的一元一次方程，解方程即可得出时间t；
(3）由P点位置的不同分两种情况考虑，依据三等分点的定义，可以找到线段间的关系，从而能找出MN的长度；

(4) 分及三种情况，解方程即可得出结论．

(1) 设B点表示，则有：
，解得：，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴经t秒后点P走过的路程为，

∴点表示的数为：，

故答案为；

(2)设点P运动t秒时，在点C处追上点Q(如图)

则AC=5t，BC=2t，

∵AC-BC=AB ，

∴5t-2t=15 ，

解得：t=5，

∴点P运动5秒时，在点C处追上点Q，

当时，，

此时P点表示的数是；

(3)没有变化．

∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，

∴，.

分两种情况：

①当点P在点A、B两点之间运动时(如备用图)：

所以MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP)=AB=10

②当点P运动到点B的左侧时(如备用图)：

所以MN=MP-NP=AP-BP=(AP-BP)=AB=10

综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为10.

(4) ①当时，，

∵

∴，不存在最小值；

②当时，，
③当时，，
∵

∴，不存在最小值；

综上，当时，的最小值是．
故答案为：15．