Question

20．求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，AD=$\frac{1}{2}AB$，AE=$\frac{1}{2}AC$，得到AD=AE，推出△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，于是得到∠3=∠4，根据等腰三角形的判定得到OB=OC，即可得到结论．

解答 已知：在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，CD，BE交于O，
求证：点O在BC的垂直平分线上．
证明：∵AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，
∴∠ABC=∠ACB，AD=$\frac{1}{2}AB$，AE=$\frac{1}{2}AC$，
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠A=∠A}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD；
∴∠1=∠2，
∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，
即∠3=∠4，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，正确的作出图形是解题的关键．