Question

11．如图，小明设计了一个“简易量角器”：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=24cm，在AB边上有一系列点P₁，P₂，P₃…P₈，使得∠P₁CA=10°，∠P₂CA=20°，∠P₃CA=30°，…∠P₈CA=80°．
（1）连接P₆C，求∠AP₆C的度数；
（2）求线段P₆P₂的长（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．

Answer 1

分析 （1）根据题意先作出合适的辅助线，然后根据题意可以求得∠AP₆C的度数；
（2）根据在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=24cm，可以求得P₆C的长度，然后根据第一问求得的∠AP₆C的度数，可以求得线段P₆P₂的长．

解答 解：（1）如下图一所示：

∵在AB边上有一系列点P₁，P₂，P₃…P₈，使得∠P₁CA=10°，∠P₂CA=20°，∠P₃CA=30°，…∠P₈CA=80°，
∴∠P₆CA=60°，
∵∠A=30°，
∴∠AP₆C=180°-∠P₆CA-∠A=180°-60°-30°=90°，
即∠AP₆C的度数是90°；
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=24cm，∠AP₆C=90°，
∴AC=2P₆C，
∴P₆C=12cm，
∵∠P₂CA=20°，∠A=30°，
∴∠CP₂P₆=∠P₂CA+∠A=50°，
∵$tan∠C{P}_{2}{P}_{6}=\frac{C{P}_{6}}{{P}_{6}{P}_{2}}$，tan50°≈1.20，
∴${P}_{6}{P}_{2}=\frac{C{P}_{6}}{tan∠C{P}_{2}{P}_{6}}=\frac{12}{1.20}=10$cm，
即线段P₆P₂的长是10cm．

点评 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．