Question

1．如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐
标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；
（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解（1）∵抛物线y=ax²+bx-3与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，-3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=3，
∴OA=1，即点A的坐标为（-1，0），
又点B（3，0），∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数表达式是y=x²-2x-3；
（2）∵∠PAB=∠CAB，
∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，
∵点P在x轴上方，
设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），
∴3（x+1）=x²-2x-3，
得x=-1（舍去）或x=6，
当x=6时，y=21，
∴点P的坐标为（6，21）；
（3）如图，
设点D的坐标为（0，y），
易得△ABC为∠ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，
∴点D在点C的上方，
∴∠DCB=45°，
∴∠ABC=∠DCB，
∵AB=4，BC=$3\sqrt{2}$，DC=y+3，
①如果$\frac{DC}{AB}$=$\frac{BC}{BC}$，则$\frac{y+3}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
∴y=1，即点D（0，1），
②如果$\frac{DC}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$则$\frac{y+3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴y=$\frac{3}{2}$，即点D₁（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．