Question

3．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，DE⊥DF，若AB=8cm，则四边形AEDF的面积为（　　）

• A． 64
• B． 32
• C． 16
• D． 8

Answer 1

分析 利用点D是斜边BC的中点，可以得到AD⊥BC，而DE⊥DF，得出∠1=∠2；由等腰直角三角形ABC的性质及∠1=∠2可以证明△ADE≌△CDF；得出S_△ADE=S_△CDF，得到S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△CDF+S_△ADF=S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，即可得出结果．

解答 解：∵AB=AC，点D是BC中点，
∴AD⊥BC．  
∴∠2=90°-∠ADF．
∵DE⊥DF，
∴∠1=90°-∠ADF．
∴∠1=∠2．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=45°．
又∵点D是BC中点，
∴∠DAC=∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°．
∴∠C=∠EAD=∠DAC．
∴AD=CD．  
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠EAD=∠C}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA）．
∴S_△ADE=S_△CDF，
∴S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△CDF+S_△ADF
=S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×8×8=16cm²．
故选：C．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．