Question

5．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别为2和3，则正方形的边长是$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 作AE⊥l于E，CF⊥l于F，如图，AE=2，CF=3，利用正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得∠CBF=∠BAE，则可根据“AAS”判定△ABE≌△BCF，所以AE=BF=2，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理计算BC的长即可．

解答 解：作AE⊥l于E，CF⊥l于F，如图，AE=2，CF=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
而∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
在△ABE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BFC}\\{∠BAE=∠CBF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF=2，
在Rt△BCF中，BC=$\sqrt{B{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即正方形的边长为$\sqrt{13}$．
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形的性质和勾股定理．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．