Question

在平面直角坐标系中，点B（0，4），C（-5，4），点A是x轴负半轴上一点，S_{四边形AOBC}=24．

（1）线段BC的长为

5

，点A的坐标为

（-7，0）

；
（2）如图1，BM平分∠CBO，CM平分∠ACB，BM交CM于点M，试给出∠CMB与∠CAO之间满足的数量关系式，并说明理由；
（3）若点P是在直线CB与直线AO之间的一点，连接BP、OP，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，BN交ON于N，请依题意画出图形，给出∠BPO与∠BNO之间满足的数量关系式，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点B、C的横坐标求出BC的长度即可；再根据四边形的面积求出OA的长度，然后根据点A在y轴的负半轴写出点A的坐标；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补用∠CAO表示出∠ACB，再根据角平分线的定义表示出∠MAB和∠MBC，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）分①点P在OB的左边时，根据三角形的内角和定理表示出∠PBO+∠POB，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义表示出∠NBP+∠NOP，然后在△NBO中，利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；②点P在OB的右边时，求出∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，再根据角平分线的定义表示出∠PBN+∠PON，然后利用四边形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵点B（0，4），C（-5，4），
∴BC=5，
S_{四边形AOBC}=

1

2

（BC+OA）•OB=

1

2

（5+OA）•4=24，
解得OA=7，
所以，点A的坐标为（-7，0）；

（2）∵点B、C的纵坐标相同，
∴BC∥OA，
∴∠ACB=180°-∠CAO，
∠CBO=90°，
∵BM平分∠CBO，CM平分∠ACB，
∴∠MCB=

1

2

（180°-∠CAO）=90°-

1

2

∠CAO，
∠MBC=

1

2

∠CBO=

1

2

×90°=45°，
在△MBC中，∠CMB+∠MCB+∠MBC=180°，
即∠CMB+90°-

1

2

∠CAO+45°=180°，
解得∠CMB=45°+

1

2

∠CAO；

（3）①如图1，当点P在OB左侧时，∠BPO=2∠BNO．
理由如下：在△BPO中，∠PBO+∠POB=180°-∠BPO，
∵BC∥OA，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠NBP+∠NOP=

1

2

（180°-∠PBO-∠POB），
在△NOB中，∠BNO=180°-（∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB），
=180°-[

1

2

（180°-∠PBO-∠POB）+∠PBO+∠POB]，
=90°-

1

2

（∠PBO+∠POB），
=90°-

1

2

（180°-∠BPO），
=

1

2

∠BPO，
∴∠BPO=2∠BNO；

②如图2，当点P在OB右侧时，∠BNO+

1

2

∠BPO=180°．
理由如下：∵BC∥OA，
∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，
∵BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠PBN+∠PON+

1

2

∠BPO=

1

2

×360°=180°，
∴∠PBN+∠PON=180°-

1

2

∠BPO，
在四边形BNOP中，∠BNO=360°-∠PBN-∠PON-∠BPO=360°-（180°-

1

2

∠BPO）-∠BPO=180°-

1

2

∠BPO，
∴∠BNO+

1

2

∠BPO=180°．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及坐标与图形性质，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题关键，（3）要注意分情况讨论．