[题目]已知:如图.在Rt△ABC和Rt△ACD中.AC=BC.∠ACB=90°.∠ADC=90°.CD=2.(点A.B分别在直线CD的左右两侧).射线CD交边AB于点E.点G是Rt△ABC的重心.射线CG交边AB于点F.AD=x.CE=y.(1)求证:∠DAB=∠DCF.(2)当点E在边CD上时.求y关于x的函数关系式.并写出x的取值范围.(3)如果△CDG是以CG为腰的等腰三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A、B分别在直线CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD=x，CE=y.

(1)求证：∠DAB=∠DCF.

(2)当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

(3)如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)AD=1或.

【解析】

（1）首先根据点G是Rt△ABC的重心，得出CF是Rt△ABC的中线.，又由AC=BC，∠ACB=90°，得出CF⊥AB，即∠AFC=90°，然后等量转换即可得出∠DAB=∠DCF；

（2）首先判定△CAD≌△BCH，得出BH = CD，CH = AD，又根据∠ADC=∠BHC=90°，得出AD∥BH，进而得出，列出等式，即可得出y关于x的函数关系式；

（3）分两种情况进行求解：①当GC=GD时，根据直角三角形斜边中线定理得出MD=MC，进而得出MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，即可得出AD；②当CG=CD时，CG=2，点G为△ABC的重心，然后运用勾股定理即可得出AD.

(1)证明：∵点G是Rt△ABC的重心，

∴CF是Rt△ABC的中线.

又∵在Rt△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CF⊥AB，即∠AFC=90°.

∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF，且∠ADE=∠EFC=90°，

∴∠DAB=∠DCF.

(2)解：如图，过点B作BH⊥CD于点H.

∴△CAD≌△BCH（ASA）.

∴BH = CD = 2，CH = AD = x，DH = 2-x.

∵∠ADC=∠BHC=90°

∴AD∥BH.

∴.

，，.

(3)解：当GC=GD时，如图1，

取AC的中点M，联结MD.那么MD=MC，

联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B.那么BH与MG共线.

又CH=AD，那么AD=CH=.

当CG=CD时，如图2，即CG=2，点G为△ABC的重心，

，AB=2CF=6，，

综上所述，AD=1或.

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