Question

12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，AC=8，则⊙O的直径AD的长度为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 连接CO，过O作OE⊥AC，根据垂径定理可得AE=4，根据圆周角定理可得∠AOC=120°，进而可得∠1=30°，再根据直角三角形的性质可得AO=2EO，再利用勾股定理计算出AO长，进而可得AD长．

解答 解：连接CO，过O作OE⊥AC，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，
∴∠1=∠2=30°，
∵OE⊥AC，
∴EO=$\frac{1}{2}$AO，
设AO=x，则EO=$\frac{1}{2}$x，
∵AC=8，
∴AE=4，
∵AO²=AE²+EO²，
∴x²=4²+（$\frac{1}{2}$x）²，
解得：x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．