Question

【题目】如图，已知矩形的边，，点、分别是、边上的动点.

（1）连接、，以为直径的交于点.

①若点恰好是的中点，则与的数量关系是______；

②若，求的长；

（2）已知，，是以为弦的圆.

①若圆心恰好在边的延长线上，求的半径：

②若与矩形的一边相切，求的半径.

Answer 1

【答案】（1）①；②1.5；（2）①5；②、，、5.

【解析】

（1）①根据直径所对的圆周角是直角判断△APQ为等腰三角形，结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理证明；②证明△PBQ∽△QBA，由对应边成比例求解；

（2）①画出图形，由勾股定理列方程求解；②分与矩形的四边分别相切，画出图形，利用切线性质，由勾股定理列方程求解.

解：（1）①如图，PQ是直径，E在圆上，

∴∠PEQ=90°，

∴PE⊥AQ,

∵AE=EQ,

∴PA=PQ,

∴∠PAQ=∠PQA,

∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,

∵∠QPB=2∠AQP.

\

②解：如图，∵BE=BQ=3，

∴∠BEQ=∠BQE,

∵∠BEQ=∠BPQ,

∵∠PBQ=∠QBA,

∴△PBQ∽△QBA,

∴ ,

∴,

∴BP=1.5;

（2）①如图， BP=3，BQ=1，设半径OP=r,

在Rt△OPB中，根据勾股定理得，PB2+OB2=OP2

∴32+(r-1)2=r2，

∴r=5,

∴的半径是5.

②如图，与矩形的一边相切有4种情况，

如图1，当与矩形ABCD边BC相切于点Q，过O作OK⊥AB于K,则四边形OKBQ为矩形，

设OP=OQ=r,则PK=3x,

由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,

解得，r=,

∴半径为.

如图2，当与矩形ABCD边AD相切于点N，延长NO交BC于L,则OL⊥BC,过P作PS⊥NL于S，

设OS=x，则ON=OP=OQ=3+x，设PS=BL=y,

由勾股定理得， ，

解得 （舍去），，

∴ON=,

∴半径为.

如图3，当与矩形ABCD边CD相切于点M，延长MO交AB于R,则OR⊥AB,过O作OH⊥BC于H，

设OH=BR=x，设HQ=y, 则OM=OP=OQ=4-1-y=3-y，

由勾股定理得， ，

解得 （舍去），，

∴OM=,

∴半径为.

如图4，当与矩形ABCD边AB相切于点P，过O作OG⊥BC于G,则四边形AFCG为矩形，

设OF=CG=x，，则OP=OQ=x+4,

由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,

解得，x=1,

∴OP=5,

∴半径为5.

综上所述，若与矩形的一边相切，为的半径，，，5.