Question

13．如图，从边长为30cm的等边△ABC纸片中剪出面积为100$\sqrt{3}$cm²的长方形纸片DEFG，为了更充分的利用剪剩下的纸片△ADG，则能剪出的最大的长方形纸片HIJK的面积为50$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 作AQ⊥BC于Q，交HK于M，交DG于N，如图，根据等边三角形的性质得AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=15$\sqrt{3}$，再由DG∥BC得△ADG∽△ABC，设DE=x，则NQ=x，AN=15$\sqrt{3}$-x，利用相似比可得DG=$\frac{90-2\sqrt{3}x}{3}$，利用矩形面积得x•$\frac{90-2\sqrt{3}x}{3}$=100$\sqrt{3}$，解得x₁=10$\sqrt{3}$，x₂=5$\sqrt{3}$，然后分类讨论：当x=10$\sqrt{3}$时，DG=10，设HI=a，则MN=a，AM=15$\sqrt{3}$-10$\sqrt{3}$-a=5$\sqrt{3}$-a，通过证明△AHK∽△ADG，利用相似比计算出HK=$\frac{30-2\sqrt{3}a}{3}$，则S_{长方形HIJK}=a•$\frac{30-2\sqrt{3}a}{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²+10a；同理可得当x=5$\sqrt{3}$时，DG=20，S_{长方形HIJK}=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²+20a，根据二次函数的最值问题分别求出两种情况下的长方形纸片HIJK的面积的最大值，从而可确定最大的长方形纸片HIJK的面积．

解答 解：作AQ⊥BC于Q，交HK于M，交DG于N，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×30=15$\sqrt{3}$，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AN}{AQ}$，
设DE=x，则NQ=x，AN=15$\sqrt{3}$-x
∴$\frac{DG}{30}$=$\frac{15\sqrt{3}-x}{15\sqrt{3}}$，解得DG=$\frac{90-2\sqrt{3}x}{3}$，
∵DE•DG=100$\sqrt{3}$，即x•$\frac{90-2\sqrt{3}x}{3}$=100$\sqrt{3}$，
整理得x²-15$\sqrt{3}$x+150=0，解得x₁=10$\sqrt{3}$，x₂=5$\sqrt{3}$，
当x=10$\sqrt{3}$时，DG=10，设HI=a，则MN=a，AM=15$\sqrt{3}$-10$\sqrt{3}$-a=5$\sqrt{3}$-a，
∵HK∥BC，
∴△AHK∽△ADG，
∴$\frac{HK}{DG}$=$\frac{AM}{AN}$，即$\frac{HK}{10}$=$\frac{5\sqrt{3}-a}{5\sqrt{3}}$，解得HK=$\frac{30-2\sqrt{3}a}{3}$，
∴S_{长方形HIJK}=a•$\frac{30-2\sqrt{3}a}{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²+10a=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（a-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{25\sqrt{3}}{2}$，
∴a=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$时，S_{长方形HIJK}的最大值为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$，
当x=5$\sqrt{3}$时，DG=20，设HI=a，则MN=a，AM=15$\sqrt{3}$-5$\sqrt{3}$-a=10$\sqrt{3}$-a，
∵HK∥BC，
∴△AHK∽△ADG，
∴$\frac{HK}{DG}$=$\frac{AM}{AN}$，即$\frac{HK}{20}$=$\frac{10\sqrt{3}-a}{10\sqrt{3}}$，解得HK=$\frac{60-2\sqrt{3}a}{3}$，
∴S_{长方形HIJK}=a•$\frac{60-2\sqrt{3}a}{3}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a²+20a=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（a-5$\sqrt{3}$）²+50$\sqrt{3}$，
∴a=5$\sqrt{3}$时，S_{长方形HIJK}的最大值为50$\sqrt{3}$，
综上所述，能剪出的最大的长方形纸片HIJK的面积为50$\sqrt{3}$cm²．
故答案为50$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的应用：通过证明三角形相似，利用相似比表示线段之间的关系或计算线段的长．也考查了二次函数的最值．