Question

【题目】如图1，已知点A，B，C是⊙O上的三点，以AB，BC为邻边作ABCD，延长AD，交⊙O于点E，过点A作CE的平行线，交CD的延长线于F．

（1）求证：FD＝FA；

（2）如图2，连接AC，若∠F＝40°，且AF恰好是⊙O的切线，求∠CAB的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠CAB＝30°．

【解析】

（1）连接CA，如图1，先证明∠1=∠2得到弧CE=弧AB，则弧EB=弧AC，所以∠BAE=∠E，然后证明∠3=∠4得到FA=FD；

（2）连接OA、OC，如图2，利用三角形内角和计算出∠FAD=∠FDA=70°，再根据平行线的性质得到∠E=∠FAD=70°，∠BAD=∠FDA=70°，接着根据圆周角定理得到∠AOC=2∠E=140°，利用等腰三角形的性质得到∠OAC=20°，然后利用切线的性质得到∠OAF=90°，于是计算∠BAF-∠OAF-∠OAC即可．

（1）证明：连接CA，如图1，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AE//BC，AB//CF，

∴∠1＝∠2，

∴弧CE=弧AB，

∴弧CE+弧BC=弧AB+弧BC，即弧EB=弧AC，

∴∠BAE＝∠E，

∵AB//CF，

∴∠4＝∠BAE，

∵AF//CE，

∴∠E＝∠3，

∴∠3＝∠4，

∴FA＝FD；

（2）解：连接OA、OC，如图2，

∵∠F＝40°，

∴∠FAD＝∠FDA＝70°，

∴∠E＝∠FAD＝70°，∠BAD＝∠FDA＝70°，

∵∠AOC＝2∠E＝140°，∠BAF=∠FAD+∠BAD =140°，

而OC＝OA，

∴∠OAC＝(180°﹣140°)＝20°，

∵AF为切线，

∴OA⊥AF，

∴∠OAF＝90°，

∴∠CAB＝∠BAF﹣∠OAF﹣∠OAC＝140°﹣90°﹣20°＝30°．