Question

5．已知双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＜0，x＞0）的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k=-2．

Answer 1

分析 首先过D点作DE⊥x轴，垂足为E，进而得出△OED∽△OAB，再利用相似三角形的性质以及反比例函数的性质得出答案．

解答 解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴DE∥AB，
∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，
∴DE为Rt△OAB的中位线，
∴DE∥AB，
∴△OED∽△OAB，
∴两三角形的相似比为：$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0），可知S_△AOC=S_△DOE=$\frac{1}{2}$|k|，
∴S_△AOB=4S_△DOE=2|k|，
由S_△AOB-S_△AOC=S_△OBC=3，得|2k-$\frac{1}{2}$k|=3，
解得：k=-2．
故答案为：-2．

点评 此题主要考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为$\frac{1}{2}$|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．