Question

如图，正方形ABCD的边长为1，G是CD边上的一个动点（G不与C、D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE、BG，并延长BG交DE于点H．
（l）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
（2）当点G运动到何处时，四边形DGEF是平行四边形，并加以证明．
（3）当点G运动到何处时，BH垂直平分DE？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．
（2）首先根据题意可得DG∥EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知当DG=EF，即DG=CG时，四边形DGEF是平行四边形；
（3）由当BD=BE时，BH垂直平分DE，分析求即可得：CG=

2

-1时，BH垂直平分DE．

解答：（1）证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，

BC=DC ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
②∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；

（2）解：当G是CD的中点，即CG=

1

2

CD时，四边形DGEF是平行四边形．
理由：连接DF、GE，
∵G是CD的中点，
∴CG=GD，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴DG∥EF，CG=EF，
∴DG=EF，
∴四边形DGEF是平行四边形．
∴当G是CD的中点，即CG=

1

2

CD时，四边形DGEF是平行四边形．

（3）解：当CG=

2

-1时，BH垂直平分DE，
理由：连接BD，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD=BC=1，
∴BD=

AB2+AD2

=

2

，
∵CG=

2

-1，
∴BE=BC+CE=

2

，
∴BD=BE，
∵BH⊥DE，
∴DH=EH，
∴BH垂直平分DE，
∴当CG=

2

-1时，BH垂直平分DE．

点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．