【题目】如图，在平面直角坐标系中，点
，
，反比例函数
的图象经过矩形
的顶点
，且交边
于点
，若为的中点，则
的值为__________．
【答案】14
【解析】
设法表示点C、E的坐标，通过辅助线，构造相似三角形，设合适未知数，表示出点C、E的坐标，再依据都在反比例函数的图象上，建立方程解出未知数，确定点的坐标，进而确定k的值．
解：过点CE分别作x轴y、轴的垂线，垂足为M、N，如图：
∵ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBM=90°，
∴∠BAO=∠CBM，
∵∠AOB=∠BMC=90°，
∴△AOB∽△BMC，
∴
，
设CM=a，则BM=2a，
∴C（a，2a+3），
同理可得：E（6+
a，a）
∵点C、E在反比例函数y=
（k＞0）的图象上，
∴a（2a+3）=a（6+a）
∴a1=2，a2=0（舍去），
∴点E的坐标为：（7，2），
∴
；
故答案为：14．
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【题目】如图1，点
是以
为直径的半圆
上任意一点(不与点
重合)，连接
并延长至点
使
连接
交半圆于点
过点作
于点
．
求证：
．
如图2，连接
．
①当
时，四边形
是菱形；
②当 时，四边形
是正方形．
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【题目】如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=
x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，直接写出AM的长．
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【题目】如图1，在
中，
，
，点
、
分别在边
、
上，
，连结
，点
、
、
分别为
、、
的中点．
（1）观察猜想图1中，线段
与
的数量关系是_______，位置关系是_______；
（2）探究证明把
绕点
逆时针方向旋转到图2的位置，连结
、
、
，判断
的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若
，
，请直接写出面积的最大值．
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【题目】矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝
（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
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【题目】如图，在
中，
，
，
为
中点，点
在
延长线上，
，
，
，
交
于点
．
（1）若
，求
的度数；
（2）求证：
；
（3）设
交
于点
．
①若
，
，求
的值；
②连结
，分别记
，
，
的面积为
，
，
，当
时，
．（直接写出答案）
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【题目】如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；
（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．
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【题目】附加题：在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
，点关于
轴的对称点为点
，
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求点坐标（用含
的式子表示）；
（3）已知点
，
，若抛物线与线段
恰有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围．
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