Question

△ABC中，∠BAC=∠ACB．
（1）如图，E是AB延长线上一点，连接CE，∠BEC的平分线交BC于点D，交AC于点P．
求证：∠CPD=90°-∠BCE；
（2）若E是射线BA上一点（E不与A、B重合），连接CE，∠BEC的平分线所在直线交BC于点D，交CA所在直线于点P．∠CPD与∠BCE有什么关系？请画出图形，给出你的结论，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵EP平分∠BEC，
∴∠BEP=∠CEP．
△ACE中，∠A+∠ACE+∠AEC=180°．
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE，且∠A=∠ACB，
∴2∠A+2∠BEP+∠BCE=180°，
∴2（∠A+∠BEP）+∠BCE=180°，
∵∠CPD=∠A+∠BEP，
∴2∠CPD+∠BCE=180°，
∴∠CPD=90°-∠BCE；

（2）结论：∠CPD=∠BCE．理由如下：
解：设∠CAB=∠ACB=α．
∵ED平分∠BEC，
∴∠BED=∠CED．
设∠BED=∠CED=β，则∠CEB=2β．
分两种情况：
i）若点E在BA上（E不与A、B重合，如图，
∵∠ACE=∠BEC-∠CAE，
∴∠ACE═2β-α．
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=α-（2β-α）=2α-2β．
∵∠CPD=∠CED-∠ACE，
∴∠CPD=β-（2β-α）=α-β，
∴∠CPD=∠BCE；
ii）若E在BA的延长线上，如图，
∵∠ACE=∠CAB-∠CEB，
∴∠ACE═α-2β，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=α+（α-2β）=2α-2β．
∵∠CPD=∠ACE+∠CEP，
∴∠CPD=α-2β+β=α-β，
∴∠CPD=∠BCE．
综上，可知∠CPD=∠BCE．
分析：（1）根据角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，可得2∠CPD+∠BCE=180°，从而求解；
（2）分两种情况：i）若点E在BA上（E不与A、B重合；ii）若E在BA的延长线上；讨论求解．
点评：考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，第二问注意分类思想的运用，本题有一定的难度．