Question

19．如图①，将?ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左侧），点D坐标为（0，4），直线MN：y=$\frac{3}{4}$x-6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被□ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t（s），m与t的函数图象如图②所示．
（1）填空：点C的坐标为（3，0）；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？B；（填“B”或“D”）
（2）点B的坐标为（-2，0），a=$\frac{40}{3}$．
（3）求图②中线段EF的函数关系式；
（4）t为何值时，该直线平分?ABCD的面积？

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式求出点M、N的坐标，再根据图2判断出CM的长，然后求出OC，从而得到点C的坐标，根据被截线段在一段时间内长度不变可以判断出先经过点B后经过点D；
（2）根据图2求出BM=10，再求出OB，然后写出点B的坐标，利用勾股定理列式求出CD，再求出BC的长度，从而得到BC=CD，判断出?ABCD是菱形，根据向左平移横坐标减表示出平移后的直线解析式，把点D的坐标代入函数解析式求出t的值即为a；
（3）根据菱形的性质写出点A的坐标，再求出F的坐标，然后设直线EF的解析式为y=kx+b，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（4）根据过平行四边形中心的直线平分平行四边形的面积，求出菱形的中心坐标，然后代入直线MN的解析式计算即可得解．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{3}{4}$x-6=0，解得x=8，
令x=0，则y=-6，
∴点M（8，0），N（0，-6）
∴OM=8，ON=6，
由图2可知5秒后直线经过点C，
∴CM=5，OC=OM-CM=8-5=3，
∴C（3，0），； 
∵10秒～a秒被截线段长度不变，
∴先经过点B；
故答案为：（3，0）；B；
（2）由图2可知BM=10，
∴OB=BM-OM=10-8=2，
∴B（-2，0），
在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴BC=CD=5，
∴?ABCD是菱形．
∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度，
平移后的直线解析式为y=$\frac{3}{4}$（x+t）-6，
把点D（0，4）代入得，$\frac{3}{4}$（0+t）-6=4，
解得t=$\frac{40}{3}$，
∴a=$\frac{40}{3}$．；
故答案为：（-2，0）； $\frac{40}{3}$．
（3）由（2）可得点E的坐标为（$\frac{40}{3}$，4），由菱形的性质，点A（-5，4），
代入直线平移后的解析式得，$\frac{3}{4}$（-5+t）-6=4，
解得t=$\frac{55}{3}$，
∴点F（$\frac{55}{3}$，0）；
设直线EF的解析式为m=kt+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{40}{3}k+b=4}\\{\frac{55}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{5}}\\{b=\frac{44}{3}}\end{array}\right.$，
所以线段EF的解析式为：m=-$\frac{4}{5}$t+$\frac{44}{3}$（$\frac{40}{3}$≤t≤$\frac{55}{3}$）；
（4）∵B（-2，0），D（0，4），
∴?ABCD的中心坐标为（-1，2），
∵直线M平分?ABCD的面积，
∴直线MN经过中心坐标，
∴$\frac{3}{4}$（-1+t）-6=2，
解得t=$\frac{35}{3}$，
即t=$\frac{35}{3}$时，该直线平分?ABCD的面积．

点评 本题是一次函数综合题型，主要利用了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，一次函数图象的平移待定系数法求一次函数解析式，表示出平移后的直线MN的解析式是解题的关键，也是本题的难点．