Question

【题目】阅读下列一段文字，然后回答下列问题.

已知在平面内有两点P1 x1，y1 ，P1 x2，y2 其两点间的距离P1P2 = ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x2 x1|或|y2 y1|.

(1)已知 A (1，4)、B (-3，5)，试求 A.、B两点间的距离；

(2)已知 A、B在平行于 y轴的直线上，点 A的纵坐标为-8，点 B的纵坐标为-1，试求 A、B两点的距 离；

(3)已知一个三角形各顶点坐标为 D(1，6)、E(-2，2)、F(4，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：

(4)在(3)的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使 PD+PF的长度最短，求出点 P的坐 标以及 PD+PF的最短长度.

Answer 1

【答案】（1）AB=；（2）AB=7；（3）△DEF为等腰三角形．理由见解析；（4）PD+PF的长度最短时点P的坐标为（，0），此时PD+PF的最短长度为．

【解析】

（1）直接利用两点间的距离公式计算；

（2）根据平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同，所以A、B间的距离为两点的纵坐标之差的绝对值；

（3）先利用两点间的距离公式计算出DE、EF、DF，然后根据等腰三角形的定义可判断△DEF为等腰三角形；

（4）找出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于P点，此时PD+PF最短，设直线DF′的解析式为y=kx+b，将D与F′的坐标代入求出k与b的值，确定出直线DF′解析式，令y=0求出x的值，确定出P坐标，由D与F′坐标，利用两点间的距离公式求出DF′的长，即为PD+PF的最短长度．

（1）∵A (1，4)、B (-3，5)，

∴AB=；

（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为-8，点B的纵坐标为-1，

∴AB=-1-（-8）=7；

（3）△DEF为等腰三角形．理由如下：

D（1，6）、E（-2，2）、F（4，2），

∴DE==5，EF=4-（-2）=6，DF==5，

∴DE=DF，

∴△DEF为等腰三角形；

（4）作F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，

设直线DF′解析式为y=kx+b，

将D（1，6），F′（4，-2）代入得：，

解得：，

∴直线DF′解析式为y=-x+，

令y=0，得：x=，即P（，0），

∵PF=PF′，

∴PD+PF=DP+PF′=DF′==，

则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（，0），此时PD+PF的最短长度为．