Question

6．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，半径OD⊥AC于点E，过点D的切线与BA延长线交于点F．
（1）求证：∠CDB=∠BFD；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到DF⊥OD，由于OD⊥AC，推出DF∥AC，根据平行线的性质得到∠CAB=∠BFD，于是得到结论；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．

解答 解：（1）∵DF与⊙O相切，
∴DF⊥OD，
∵OD⊥AC，
∴DF∥AC，
∴∠CAB=∠BFD，
∴∠CAB=∠CDB，
∴∠CDB=∠BFD；

（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$．
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×10$=5，
在Rt△AEO中，OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵AC∥DF，
∴△OAE∽△OFD．
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{AE}{DF}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{DF}$，
∴DF=$\frac{20}{3}$．

点评 此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，得出△OAE∽△OFD是解题关键．