Question

设实数x，y，z满足x+y+z=0，且（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2，求x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：首先把x+y+z=0变为z=-x-y，然后代入（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2中，化简为3y²+3xy+3x²-1≤0，可以看作关于y的不等式，然后利用判别式即可解决问题．

解答：解：∵实数x，y，z满足x+y+z=0，
∴z=-x-y，
将z=-x-y代入（x-y）²+（y-z）²+（z-x）²≤2中，
化简得3y²+3xy+3x²-1≤0，
∵x，y，z为实数，
∴△=9x²-12（3x²-1）≥0，
∴-

2

3

≤x≤

2

3

，
当xmax=

2

3

，此时y=z=-

1

3

，
当xmin=-

2

3

，此时y=z=

1

3

．
∴x的最大值和最小值分别为

2

3

和-

2

3

．

点评：此题主要考查了一元二次不等式的应用，解题的关键是把已知不等式变为关于某一个未知数的不等式，然后利用判别式即可解决问题．