Question

设实数a，b，c满足：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，求证：

1

a2n-1

+

1

b2n-1

+

1

c2n-1

=

1

a2n-1+b2n-1+c2n-1

.

Answer 1

分析：直接通分，将分式等式转化为整式等式，再因式分解得到（b+c）（a+b）（a+c）=0，可知其中至少有一个因式为0．

解答：证明：∵

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

∴

ac+bc+ab

abc

=

1

a+b+c

bc（a+b+c）+ac（a+b+c）+ab（a+b+c）=abc
∴（b+c）a²+（2bc+c²+b²）a+bc²+b²c=0
即（b+c）a²+（b+c）²a+（b+c）bc=0
（b+c）（a²+ab+ac+bc）=0
∴（b+c）（a+b）（a+c）=0
∴b=-c或a=-b或a=-c
若b=-c，当n为自然数时，2n-1为奇数，b^2n-1+c^2n-1=0，且

1

b2n-1

+

1

c2n-1

=0，即命题得证．
同理：当a=-b，或a=-c时，原命题成立．

点评：本题考查了分式加减运算的运用，先通分，去分母，将分式等式转化为整式等式，再运用因式分解的知识解题．