Question

20．已知抛物线的顶点A的坐标为（4，6），且经过点B（0，2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P在直线y=x上，且PA+PB的值最小，求点P的坐标及PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-4）²+6，然后把B（0，2）代入求出a的值即可．
（2）先作出点B关于直线y=x的对称点B′，再连接AB′，求出直线A′B的函数解析式，再联立直线y=x列方程组即可求得P点的坐标，根据勾股定理即可求得PA+PB的最小值．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+6，
把（0，2）代入得16a+6=2，
解得a=-$\frac{1}{4}$，
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+6．
（2）解：如图，作点B关于直线y=x的对称点B′，
则PB=PB′，
故PA+PB=PB′+PA=AB′，
由图知，只有当A、P、B′共线时，PA+PB最小，
又由B与B′关于y=x对称知，B′（2，0），
由A、B′两点坐标得AB′的解析式为y=3x-6，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-6}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得x=y=3，
故当PA+PB最小时，P的坐标为（3，3）．
AB′=$\sqrt{（4-2）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$
∴PA+PB的最小值为2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数和方程组的知识，两点之间线段最短是解题的关键．