Question

10．抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜-1时，y随着x的增大而减小．下列结论①a+b＞0；②若点A（-3，y₁），点B（3，y₂）都在抛物线上，则y₁＜y₂；③a（m-1）+b=0；④若c≤-1，则b²-4ac≤4a．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用x＜-1时，y随着x的增大而减小可判断抛物线开口向上，则a＞0，由于抛物线经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，可判断抛物线的对称轴的位置，所以0＜-$\frac{b}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，于是可对①进行判断；通过比较点A到对称轴的距离和点B到对称轴的距离可对②进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得到a-b+c=0，am²+bm+c=0，消去c，再因式分解得到（m+1）（m-1）+b（m-1）=0，于是可对③进行判断；
利用抛物线顶点的纵坐标小于-1得到$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜-1，然后利用不等式性质变形后可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线过点（-1，0），当x＜-1时，y随着x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，
∴0＜-$\frac{b}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，
∴a+b＞0，所以①正确；
∵点A（-3，y₁），点B（3，y₂）都在抛物线上，
而点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离要大，
∴y₁＞y₂，所以②错误；
∵抛物线经过点（-1，0）和（m，0），
∴a-b+c=0，am²+bm+c=0，
∴am²-a+bm-b=0，即a（m+1）（m-1）+b（m+1）=0，
∴a（m-1）+b=0，所以③正确；
∵c≤-1，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜-1，
∴b²-4ac＞4a，所以④错误．
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．