Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交y轴于（0，-15），且过点（3，0）和（4，）；
（1）求抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，抛物线与x轴的两个交点为A、B，以AB为直径作圆M，过P作⊙M的切线，求所作切线的解析式．

Answer 1

解：（1）根据题意得到：，
解得，
因而函数的解析式就是y=-x²+x-15．
（2）即：y=-（x-6）²+5，
∴顶点为P（6，5）；可得A（3，0），B（9，0），M（6，0）
设直线PD为：y=kx+b（k≠0），则k=±tan∠CDM=±，
∴y=±x+b（k≠0），
又∵PD过点P（6，5），
∴5=±×6+b，
解得：或，
故：所求切线解析式为：y=x-3或y=-x+13．
分析：（1）把（0，-15），（3，0）和（4，）代入抛物线y=ax²+bx+c就可以得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值．求出函数解析式．
（2）根据抛物线的解析式就可以求出A，B，P，M的坐标，过P作⊙M的切线一定垂直于过切点的半径，半径MP的函数解析式可以利用待定系数法求出，切线的解析式中一次项系数，与MP的解析式中一次项系数互为负倒数，因而利用待定系数法，把P点的坐标代入就可以得到函数的解析式．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及互相垂直的两条直线的解析式的关系．