Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）若AP=

10

，求△PFA的面积．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质就可以得出∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，就可以得出∠PAF=∠AEB，就可以得出△PFA∽△ABE；
（2）根据勾股定理可以求出AE的值及△ABE的面积，由相似三角形的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，AB=BC=CD=DA=4，
∴∠DAE=∠AEB．
∵PF⊥AE，
∴∠AFP=90°，
∴∠AFP=∠B
∴△PFA∽△ABE
（2）∵E是BC边的中点，
∴BE=

1

2

BC=2．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE=2

5

．
∵△PFA∽△ABE，
∴

S△PFA

S△ABE

=(

AP

EA

)2．
∵S_△ABE=

4×2

2

=4，
∴

S△PFA

4

=(

10

2 5

)2，
∴S_△PFA=2．
答：△PFA的面积为2．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形相似是关键．