Question

已知：如图，直线y=-

3

4

x+3交x轴于O₁，交y轴于O₂，⊙O₂与x轴相切于O点，交直线O₁O₂于P点，以O₁为圆心，O₁P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O₂于点F，⊙O₁的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．
（1）求证：∠APO=∠BPO；
（2）求证：EF是⊙O₂的切线；
（3）EO₁的延长线交⊙O₁于C点，若G为BC上一动点，以O₁G为直径作⊙O₃交O₁C于点M，交O₁B于N．下列结论：①O₁M•O₁N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．

Answer 1

（1）连接O₂F．
∵O₂P=O₂F，O₁P=O₁B，
∴∠O₂PF=∠O₂FP，∠O₁PB=∠O₁BP，
∴∠O₂FP=∠O₁BP．
∴O₂F∥O₁B，
得∠OO₂F=90°，
∴∠OPB=

1

2

∠OO₂F=45°．
又∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴∠APO=∠BPO=45°．

（2）延长ED交⊙O₁于点H，连接PE．
∵BO为切线，
∴BO²=BF•BP．
又∵BE=BO，
∴BE²=BF•BP．
而∠PBE=∠EBF，
∴△PBE∽△EBF，
∴∠BEF=∠BPE，
∴BE=BH，有AB⊥ED．
又由（1）知O₂F∥O₁B，
∴O₂F⊥DE，
∴EF为⊙O₂的切线．

（3）MN的长度不变．
过N作⊙O₃的直径NK，连接MK．则∠K=∠MO₁N=∠EO₁D，
且∠NMK=∠EDO₁=90°，
又∵NK=O₁E，
∴△NKM≌△EDO₁，
∴MN=ED．
而OO₁=4，OO₂=3，
∴O₁O₂=5，
∴O₁A=8．即AB=16，
∵EF与圆O₂相切，
∴O₂F⊥ED，
则四边形OO2FD为矩形，
∴O₂F=OD，又圆O₂的半径O₂F=3，
∴OD=3，
∴AD=7，BD=9．
ED²=AD•BD，
∴ED=3

7

．
故MN的长度不会发生变化，其长度为3

7

．