Question

6．小明，小华和小英三人在一次课外数学话动中探讨代数式x²-4x+9后，各自得到了一些不同的结论．
小华说：方程x²-4x+9=0没有解，故找不到满足条件的值，使x²-4x+9的值为零．
小明说：我考察了很多数，发现这个代数式的最小值为5．
小英说：当x=-3或7时，代数式x²-4x+9的值均为30．
（1）你认为他们的结论都正确吗？请分别说明理由．
（2）请你针对代数式x²-4x+9，写出一个不同于他们三个的结论．

Answer 1

分析 （1）x²-4x+9配方为（x-2）²+5，根据非负数的性质进行解答；
（2）根据非负数的性质进行解答．

解答 解：（1）小华的结论正确．理由如下：
因为方程x²-4x+9=0没有解，即没有符合要求的x的值，所以找不到满足条件的值，使x²-4x+9的值为零．
小明的结论正确．理由如下：
∵x²-4x+9=（x-2）²+5，（x-2）²≥0，
∴（x-2）²+5≥5，即x²-4x+9≥5，
∴代数式x²-4x+9的最小值为5．
小英的结论正确．理由如下：
把x=-3代入x²-4x+9，得
x²-4x+9=（-3）²-4×（-3）+9=30．
把x=7代入x²-4x+9，得
x²-4x+9=7²-4×7+9=30．
故当x=-3或7时，代数式x²-4x+9的值均为30；

（2）不论x为何值，代数式x²-4x+9的值总大于0．证明如下：
∵x²-4x+9=（x-2）²+5，（x-2）²≥0，
∴（x-2）²+5≥5，即x²-4x+9≥5，
∴代数式x²-4x+9的值总大于0．

点评 本题考查了配方法的应用和非负数的性质．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．