Question

11．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB•CF=CB•CD；
（2）已知AB=15，BC=9，P是射线DE上的动点，设DP=x（x＞0），四边形BCDP的面积为y．
①求y关于x的函数关系式；
②当PB+PC最小时，求x，y的值．

Answer 1

分析 （1）首先证得△DCF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得结论；
（2）①由勾股定理可得BC的长，利用梯形的面积公式可得结果；②首先由垂直平分线的性质可得点C关于直线DE的对称点是点A，PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小即可，因为当P、A、B三点共线时PB+PA最小，由中位线的性质可得EF=$\frac{9}{2}$，由（1）知CF：BC=CD：AB，可得CD，即得AD，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF，易得DE，即得x，代入①可得y．

解答 （1）证明：如图1，∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF，
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B，
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{CF}{BC}$，
∴AB•CF=CB•CD；

（2）解：①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{-BC}^{2}}$=$\sqrt{{15}^{2}{-9}^{2}}$=12，
∴CF=AF=6，
∴y=$\frac{1}{2}$（x+9）×6=3x+27（x＞0）；
②由（1）知点C关于直线DE的对称点是点A，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小，显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小，
此时DP=DE，PB+PA=AB，
∵EF∥BC，∴EF=$\frac{9}{2}$，
∵CF：BC=CD：AB，即6：9=CD：15，
∴CD=10=AD，
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8，
∴DE=DF+EF=8+$\frac{9}{2}$=$\frac{25}{2}$，
∴x=$\frac{25}{2}$，此时y=$\frac{129}{2}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定，垂直平分线的性质及判定定理及最短路径问题，分析出当P、A、B三点共线时PB+PA最小是解答此题的关键．