Question

3．矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为30或14$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据角平分线定义求出∠DAE=∠EAB，根据矩形的性质得出AD=BC，DC=AB，DC∥AB，求出∠DEA=∠EAB，求出∠EAB=∠BEA，推出AB=BE，①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，得出x•4x=36，求出x即可；②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，得出4x•3x=36，求出x即可．

解答 解：
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠EAB=∠BEA，
∴AB=BE，
①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴x•4x=36，
解得：x=3，
即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；
②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴3x•4x=36，
解得：x=$\sqrt{3}$，
即AD=BC=4x=4$\sqrt{3}$，AB=CD=3x=3$\sqrt{3}$，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$）=14$\sqrt{3}$；
故答案为：30或14$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线定义的应用，能进行分类讨论是解此题的关键，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等且平行．