Question

5．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，如x²=-1这类方程在实数范围内无解．为了解决这个问题，需要把数的范围作进一步的扩充．为此，为探索新问题的需要，定义一种新数：如果一个数的平方等于-1，就记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位．那么形如“a+bi”（a、b为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3-4i）=5-3i，（3+i）（1+2i）=1+7i，（3i）²=-9等．
根据信息，解决下列问题：
（1）填空：i⁴=1，（2+i）²=3+4i
（2）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，据此，完成下列问题：
已知：（x+y）+3i=（1-x）-yi（x、y为实数），求x、y的值；
（3）试一试：请利用相关知识，将$\frac{1+i}{1-i}$化简成a+bi的形式．

Answer 1

分析 （1）根据i²=-1，i⁴=i²•i²，然后计算；根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i²，化简为-1计算；
（2）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值；
（3）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化为不含i的数后计算．

解答 解：（1）∵i²=-1，
i⁴=i²•i²=-1•（-1）=1，
（2+i）²=i²+4i+4=-1+4i+4=3+4i；

（2）∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；

（3）$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{（1+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{（1+i）^{2}}{2}$=$\frac{2i}{2}$=i．

点评 本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．