Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，BD⊥DC，E为BC中点，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再由AB=AD，可得出平行四边形ABCD为菱形；（2）由（1）得，BE=EC=AD=DE，AD=DC，DE=EC=DC，可得出△DEC为等边三角形，由此基础上求出BC的长即可求出梯形的面积．

解答：证明：（1）∵BD⊥DC，E为BC中点，∴BE=ED=EC，∴∠DBE=∠BDE；
又AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，∴∠ADB=∠BDE，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB
∴∠BDE=∠ABD∴DE∥AB
又∵AD∥BC，即AD∥BE，
∴四边形ABCD为平行四边形
又AB=AD，∴平行四边形ABCD为菱形．
（2）由（1）得，BE=EC=AD=DE，又∵AD=DC，
∴DE=EC=DC，∴△DEC为等边三角形．
作DF⊥BC于F，则DF=

3

2

DC=2

3

，
BC=2BE=2AD=8，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×DF=

1

2

×（4+8）×2

3

=12

3

．

点评：本题考查了菱形的判定及梯形的面积公式，难度较大，关键综合全面的掌握各类图形的性质及判定做题时融会贯通．