Question

15．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AB上，且AE=DE．
（1）△BDE与△BCA相似吗？为什么？
（2）已知AB=10，AC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ADE=∠EAD，由角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，等量代换得到∠ADE=∠CAD，推出DE∥AC，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{AB}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）△BDE与△BCA相似，
理由：∵AE=DE，
∴∠ADE=∠EAD，
∵AD是角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA；

（2）∵△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{AB}$，
∵AB=10，AC=6，
∴$\frac{DE}{6}=\frac{10-DE}{10}$，
∴DE=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及勾股定理的运用，利用平行线分线段成比例定理得到AE和BE的数量关系是解题的关键．