Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A（1，0），已知抛物线y＝﹣x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．

（1）当抛物线经过点A时，求顶点P坐标；

（2）等腰Rt△AOB，点B在第四象限，且OA＝OB．当抛物线与线段OB有且仅有两个公共点时，求m满足的条件；

（3）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°，求此抛物线解析式．

Answer 1

【答案】（1）顶点P坐标(﹣，)；（2）m＞2﹣3；（3）y＝﹣x2+x﹣或y＝﹣x2+x﹣

【解析】

（1）将点A坐标代入解析式，可求m的值，即可求解；

（2）先求出点B坐标，由抛物线与线段OB有且仅有两个公共点，可列不等式，可求解；

（3）当x＝2时，y＝﹣4+2m﹣2m＝﹣4，则抛物线都经过定点H（2，﹣4），分点P在AH的左侧或右侧两种情况讨论，构造全等三角形，求出BH解析式，即可求解．

解：（1）∵抛物线经过点A，

∴0＝﹣1+m﹣2m，

∴m＝﹣1，

∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，

∴顶点P坐标（﹣，）；

（2）∵点A（1，0），OA＝OB，

∴点B（1，﹣1）

设直线OB的解析式为

将点B代入得

∴直线OB解析式为：y＝﹣x，

∵抛物线与线段OB有且仅有两个公共点，

∴﹣x＝﹣x2+mx﹣2m，

∴△＝（m+1）2﹣8m＞0，

∴m＞2﹣3，或m＜﹣2﹣3，

∵抛物线与线段OB有且仅有两个公共点，

∴

∴m≥0，

∴m＞2﹣3，

（3）∵当x＝2时，y＝﹣4+2m﹣2m＝﹣4，

∴抛物线都经过定点H（2，﹣4），

若点P在AH的左侧，如图1，过点A作AB⊥PH，过点B作BD⊥OA，过点H作HC⊥BD于C，

∵∠AHP＝45°，AB⊥PH，

∴∠BAH＝∠AHB＝45°，

∴AB＝BH，

∵∠DBA+∠CBH＝90°，∠DBA+∠DAB＝90°，

∴∠DAB＝∠CBH，且AB＝BH，∠ADB＝∠BCH＝90°，

∴△DAB≌△CBH（AAS）

∴AD＝BC，BD＝CH，

∵BC+BD＝4，CH﹣AD＝1，

∴BD＝CH＝，BC＝AD＝，

∴点B（﹣，﹣）

设直线BH解析式为：y＝kx+b，

∴

解得：

∴直线BH解析式为：y＝﹣x﹣，

∵y＝﹣x2+mx﹣2m

∴P（，）

∵点P（，）在直线BH上，

∴＝﹣×﹣

∴m1＝4，m2＝，

∵当m＝4时，点P（2，﹣4）与点H重合，

∴m＝

∴抛物线解析式：y＝﹣x2+x﹣，

若点P在AH的右侧，如图2，

同理可求：直线BH解析式为：y＝x﹣，

∵点P（，）在直线BH上，

∴＝×﹣，

∴m1＝4，m2＝，

∴抛物线解析式：y＝﹣x2+x﹣，

综上所述，抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣或y＝﹣x2+x﹣．