Question

11．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，BF⊥DE于点F．
（1）求证：AE=CE；
（2）若DE=1，⊙O的半径为2，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连结AD，由AB为直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°，从而有∠C+∠EAD=90°，∠EDA+∠CDE=90°，而∠CAB=90°，根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线，而DE与⊙O相切，根据切线长定理得ED=EA，则∠EDA=∠EAD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，则ED=EC，即可得到EA=EC；
（2）根据直角三角形的性质得到AC=2DE=2，由勾股定理得到BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根据射影定理得到BD=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CD=$\frac{A{C}^{2}}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，根据余角的性质得到∠ADE=∠DBF，推出△ACD∽△BDF，根据相似三角形的性质列比例式即可解得结果．

解答 （1）证明：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EA，
∴∠EAD=∠EDA，∠C=90°-∠EAD，∠CDE=90°-∠EDA，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EA=EC；

（2）解：∵∠ADC=90°AE=CE，
∴AC=2DE=2，
∵⊙O的半径为2，
∴AB=4，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠BAC=90°AD⊥BC，
∴BD=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴CD=$\frac{A{C}^{2}}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵∠ADC=∠F=∠ADB=90°，
∴∠EDA+∠FDB=∠FDB+∠DBF=90°，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠DBF，
∴△ACD∽△BDF，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{CD}{DF}$，
∴DF=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，射影定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．