Question

【题目】如图，在ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）2

【解析】

(1) 方法一: 连接AC, 利用角平分线判定定理, 证明DA=DC即可;

方法二: 只要证明△AEB≌△AFD. 可得AB=AD即可解决问题；

(2) 在Rt△ACF, 根据AF=CF·tan∠ACF计算即可.

（1）证法一：连接AC，如图．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，

∴∠ACF=∠ACE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠DAC=∠ACB．

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC，

∴四边形ABCD是菱形．

证法二：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

又∵AE=AF，

∴△AEB≌△AFD．

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）连接AC，如图．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF=60°，

∴∠ECF=120°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ACF=60°，

在Rt△CFA中，AF=CFtan∠ACF=2．