Question

如图，正方形ABCD的边长为4，O是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EO并延长交射线CD于点F，过O作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）判断△GEF的形状，并说明理由；
（2）设AE=x，△GEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（3）在点E运动的过程中，△GEF能否是等边三角形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于四边形ABCD是正方形，所以正方形的四个边相等且对边平行，四个角都是直角，很容易证明△AME≌△DMF，从而可得出结论．
（2）设AE=x时，△EGF的面积为y，有两种情况，当点E与点A重合时，即x=0时，可求出y的值，当点E不与点A重合时，0＜x≤4，根据条件可证明Rt△AEM∽Rt△NGM，根据相似三角形的对应边成比例，可得出函数式．
（3）不可能，因为EF=MG，EG＞MG所以EG＞EF，所以不可能是等边三角形．

解答：（1）等腰三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=∠MDF（1分），
在△AME和△DMF中，
∵

∠AME=∠FMD AM=DM ∠A=∠MDF

，
∴△AME≌△DMF，
∴EM=FM，
又∵GM⊥EF，
∴EG=FG，即△GEF是等腰三角形；

（2）解：∵当点E与点A重合时，如图1所示，x=0，y=

1

2

AD×MG=

1

2

×4×4=8，
当点E不与点A重合时，0＜x≤4
∵EM=FM
在Rt△AME中AE=x，AM=2，ME=

x2+4

，
∴EF=2ME=2

x2+4

，
如图2所示，过M作MN⊥BC，垂足为N
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM，
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AEM∽Rt△NGM；

∴

AM

MN

=

ME

MG

，

ME

MG

=

1

2

，
∴MG=2ME=2

x2+4

，
∴y=

1

2

EF×MG=

1

2

×2

x2+4

×2

x2+4

=2x²+8．
∴y=2x²+8（0≤x≤4）；

（3）解：不可能．
∵EF=MG=2

x2+4

，在Rt△MEG中EG＞MG，
∴EG＞EF，
∴△EFG不可能是等边三角形．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到全等三角形的判定和性质定理，相似三角形的判定和性质定理，以及全等三角形的判定正方形的性质等，难度较大．