Question

7．已知：关于x的一元二次方程ax²-2（a-1）x+a-2=0（a＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂）．若y是关于a的函数，且y=ax₂+x₁，求这个函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y≤-3a²+1，则自变量a的取值范围为0＜a≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由于a＞0，则计算判别式的值得到△＞0，于是根据判别式的意义可判断方程有两个不相等的实数根；
（2）利用求根公式可得到x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，于是得到y=ax₂+x₁=a-1；
（3）把y≤-3a²+1理解为一次函数y=a-1与二次函数y=-3a²+1比较函数值的大小，先求出两函数的交点坐标，然后写出抛物线都在直线上方所对应的自变量的范围即可，注意a＞0．

解答 （1）证明：∵△=[-2（a-1）]²-4a（a-2）=4．
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：x=$\frac{2（a-1）±2}{2a}$=$\frac{a-1±1}{a}$
∵a＞0，x₁＞x₂，
∴x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，
∴y=ax₂+x₁=a-1，
即这个函数的表达式为y=a-1（a＞0）；
（3）解：如图，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=a-1}\\{y=-3{a}^{2}+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
即抛物线y=-3a2+1与直线y=a-1的两个交点坐标为（-1，-2）、（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
当y≤-3a²+1时，0＜a≤$\frac{2}{3}$．
故答案为0＜a≤$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．