Question

3．如图，在△ABC中，BC=3$\sqrt{2}$，AC=5，∠B=45°，则下面结论正确的是①③④．
①∠C一定是钝角；
②△ABC的外接圆半径为3；
③sinA=$\frac{3}{5}$；
④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是$\frac{{5\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 如图1，作辅助线，构建三角形的高线，根据∠B=45°得△BDC是等腰直角三角形，求出BD和CD的长，利用勾股定理求出AD的长，计算∠A的正弦值，对③作出判断；
利用计算AE的长，从而计算BE的长，与BC比较可以得出∠C为钝角，对①作出判断；
如图2，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得：△AOC是等腰直角三角形，根据斜边AC=5，可计算半径OA的长，对②作出判断；
如图3，利用正六边形的特殊性质得：△OEF是等边三角形，从而根据半径OA的长，计算DF的长，得出边长EF，对④作出判断．

解答 解：如图1，过C作CD⊥AB于D，过A作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵BC=3$\sqrt{2}$，
∴BD=CD=3，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴sin∠BAC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
所以③正确；
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$CB•AE，
∴7×3=3$\sqrt{2}$AE，
AE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（\frac{7\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{49}{2}}$＞BC=3$\sqrt{2}$=$\sqrt{18}$，
∴∠ACB＞90°，
即∠C一定是钝角；
所以①正确；
如图2，设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA、OC，
∵∠B=45°，
∴∠AOC=2∠B=90°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴OA=$\frac{5}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
则△ABC的外接圆半径为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
所以②不正确；
如图3，此正六边形是△ABC的外接圆的外切正六边形，
Rt△ODF中，由②得：OD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由题意得：△OEF是等边三角形，
∴∠OFE=60°，
tan60°=$\frac{OD}{DF}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{DF}$，
∴DF=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{6}$，
∴EF=2DF=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
则△ABC外接圆的外切正六边形的边长是$\frac{{5\sqrt{6}}}{3}$，
所以④正确，
故本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了等边三角形、正六边形、外接圆、内切圆等知识点，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素和圆的性质．