Question

13．阅读下列材料：
“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令S=1+2+3+…+99+100 ①，
S=100+99+98+…+2+1 ②
①+②：有2S=（1+100）+（2+99）+…+（99+2）+（100+1）=101×100
解得：S=5050
请类比以上做法，回答下列问题：
（1）计算：1+2+3+…+（n-1）+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）计算：2+4+6+…+998+1000=250500；
（3）若n为正整数，3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）=255，求n的值．

Answer 1

分析 （1）通过观察可知，题目中的加数构成一个公差为1的等差数列，则本题根据高斯求和的有关公式计算即可；
（2）根据等差数列和=（首项+末项）×项数÷2，即可解答；
（3）根据（2）中的规律，即可解答．

解答 解：（1）令S=1+2+3+…+（n-1）+n  ①，
S=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1  ②
①+②：有2S=（n+1）+（n-1+2）+…+（n-1+2）+（n+1）=（n+1）n，
S=$\frac{n（n+1）}{2}$．
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}$；

（2）令S=2+4+6+…+998+1000  ①，
S=1000+998+996+…+4+2  ②
①+②：有2S=（1000+2）+（998+4）+…+（998+4）+（1000+2）=1002×500，
S=$\frac{1002×500}{2}$=250500．
故答案为：250500；

（3）设S=3+5+7+…+（2n+1）=255①，
则S=（2n+1）+…+7+5+3=255②，
①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×255，
整理得，n²+2n-255=0，
即（n-15）（n+17）=0，
解得n₁=15，n₂=-17（舍去）．
所以n=15．

点评 本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是明确等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．