Question

3．若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上的一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则sin∠BFC=$\frac{80\sqrt{17}}{17}$或$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 分两种情况进行分析：①当BF如图位置时，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAD=90°，推出Rt△ABE≌△RtBAF（HL），根据全等三角形的性质得到AF=BE=3，AE=BF，根据勾股定理得到BF=$\sqrt{A{B}^{2-}A{F}^{2}}$=5，CF=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{17}$，过点B作BN⊥CF于N，根据正弦函数即可得到结论；②当BF为BG位置时，由△RtBCG≌△RtABE，得到BG=AE=5，根据正弦函数即可得到结论．

解答 解：如图，当BF如图位置时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
在Rt△ABE与△RtBAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{AE=BF}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌△RtBAF（HL），
∴AF=BE=3，AE=BF
∵AB=AD=4，
∴DF=1，BF=$\sqrt{A{B}^{2-}A{F}^{2}}$=5，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
过点B作BN⊥CF于N，
∴$\frac{1}{2}CF•BN$=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}，
∴BN=$\frac{16}{\sqrt{17}}$，
∴sin∠BFC=$\frac{BN}{BF}$=$\frac{80\sqrt{17}}{17}$，
当BF为BG位置时，
在△RtBCG与△RtABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AE=BG}\end{array}\right.$，
∴△RtBCG≌△RtABE，
∴BG=AE=5，
∴sin∠BGC=$\frac{BC}{BG}$=$\frac{4}{5}$．
综上所述：sin∠BFC=$\frac{80\sqrt{17}}{17}$或$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{80\sqrt{17}}{17}$或$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．