分析 (1)如图1中,当点F在AB上时,易证AG=GE=DG=DB=$\frac{4}{3}$,由此求出AD的长即可解决问题;
(2)分三种情形讨论:①如图2中,当0<x≤2时,重叠部分是△ADE,②如图3中,当2<x≤$\frac{8}{3}$时,重叠部分是五边形MNEDG.③当$\frac{8}{3}$<x<4时,重叠部分是正方形DEFG,分别求解即可解决问题;
(3)如图5中,当2≤x<4时,延长BO交AC于M.只要证明CM=AM即可解决问题;
解答 解:(1)如图1中,当点F在AB上时,易证AG=GE=DG=DB=$\frac{4}{3}$,
∴运动时间x=$\frac{AD}{1}$=$\frac{8}{3}$,
故答案为$\frac{8}{3}$.
(2)①如图2中,当0<x≤2时,重叠部分是△ADE,
∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠AED=45°,
∴AD=DE=x,
∴y=S△ADE=$\frac{1}{2}$x2,
②如图3中,当2<x≤$\frac{8}{3}$时,重叠部分是五边形MNEDG.
易知FG=GD=DE=DB=4-x,MG=AG=x-(4-x)=2x-4,
∴FM=FG-MG=(4-x)-(2x-4)=8-3x=FN,
∴y=S正方形DEFG-S△FMN=(4-x)2-$\frac{1}{2}$(8-3x)2=-$\frac{7}{2}$x2+16x-16,
③当$\frac{8}{3}$<x<4时,重叠部分是正方形DEFG,
y=(4-x)2=x2-8x+16.
综上所述,y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{(0<x≤2)}\\{-\frac{7}{2}{x}^{2}+16x-16}&{(2<x≤\frac{8}{3})}\\{{x}^{2}-8x+16}&{(\frac{8}{3}<x<4)}\end{array}\right.$
(3)如图5中,当2≤x<4时,延长BO交AC于M.
∵OE=OG,EG∥AC,
∴$\frac{OE}{CM}$=$\frac{BO}{BM}$=$\frac{OG}{AM}$,
∴CM=AM,
∴直线OB平分△ABC的面积.
∴当2≤x<4时,直线OB平分△ABC的面积.
点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | -3 | -4 | -3 | 0 | -3 | … |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | k>0 | B. | k<2 | C. | 0<k<2 | D. | -2<k<0 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -2017 | B. | c | C. | 0 | D. | c-2017 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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