Question

【题目】如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，把△ABD、△ACD分别以AB、AC为对称轴翻折变换，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点．

（1）求证：四边形AEGF是正方形；

（2）求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝6；

【解析】

（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，求出AD＝x＝6．

（1）证明：由翻折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，

∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，

∵∠BAC＝45°，

∴∠EAF＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，

∴四边形AEGF为矩形，

∵AE＝AD，AF＝AD，

∴AE＝AF，

∴矩形AEGF是正方形；

（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，

设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，

则BG＝EG﹣BE＝x﹣2，CG＝FG﹣CF＝x﹣3，

在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，

解得：x＝6或x=﹣1（舍去）．

∴AD＝x＝6；