Question

2．如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（3，4），平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与菱形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．

（1）求点B的坐标；
（2）当MN=$\frac{1}{2}$AC时，求t的值；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数表达式，并确定S的最大值．

Answer 1

分析 （1）过点C作CH⊥OA于H，由勾股定理求出OC，得出CB，即可得出结果；
（2）分两种情况：①当0≤t≤5时，由菱形的性质得出OA=AB=BC=OC=5，OC∥AB．由平行线得出△OMN∽△OAC，得出比例式求出OM即可；
②当5≤t≤10时，设直线MN与OA交于点E．，同①可得AM=$\frac{5}{2}$．在证出△AEM∽△OAC．得出对应边成比例求出AM=AE，得出OE即可；
（3）分两种情况①当0≤t＜5时，求出△OAC的面积，再由相似三角形的性质得出$\frac{{{S_{△OMN}}}}{{{S_{△OAC}}}}={（{\frac{OM}{OA}}）^2}$，即可得出结果；
②当5≤t≤10时，过点M作MT⊥x轴于T，由△BMN∽△AME可知，MT=$\frac{4}{5}$（t-5），得出S_△OMN=S_△ONE-S_△OME=$-\frac{2}{5}{（{t-5}）^2}+10$；即可得出结果．

解答 解：（1）过点C作CH⊥OA于H，如图1所示：
∵C （3，4），
∴CH=4，OH=3，
∴OC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴CB=OC=5，5+3=8，
∴点B的坐标为（8，4）；                                     
（2）分两种情况：
①当0≤t≤5时，
如图2所示：
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC=5，OC∥AB．
∵MN∥AC，
∴△OMN∽△OAC，
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{OM}{OA}$．
∵$MN=\frac{1}{2}AC$，
∴$OM=\frac{1}{2}OA$
∴$OM=\frac{5}{2}$，
∴$t=\frac{5}{2}$．
②当5≤t≤10时，如图3所示：
设直线MN与OA交于点E．，同①可得AM=$\frac{5}{2}$．
∵OC∥AB，MN∥AC，
∴∠COA=∠MAE，∠CAO=∠MEA，
∴△AEM∽△OAC．
∴$\frac{AE}{OA}=\frac{AM}{OC}$．
∵OC=OA，
∴AM=AE，
∴$OE=\frac{15}{2}$，
∴$t=\frac{15}{2}$．
综上所述：$t=\frac{5}{2}$或$t=\frac{15}{2}$．
（3）分两种情况：
①当0≤t＜5时（如图1），${S_{△OAC}}=\frac{1}{2}OA•CH=10$．
∵△OMN∽△OAC，
∴$\frac{{{S_{△OMN}}}}{{{S_{△OAC}}}}={（{\frac{OM}{OA}}）^2}$，即$\frac{{S}_{△OMN}}{10}=（\frac{t}{5}）^{2}$，
∴$S=\frac{2}{5}{t^2}$（0≤t＜5）；
②当5≤t≤10时，过点M作MT⊥x轴于T，如图4所示：
由△BMN∽△AME可知，MT=$\frac{4}{5}$（t-5），
∴S_△OMN=S_△ONE-S_△OME=$-\frac{2}{5}{（{t-5}）^2}+10$；
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{5}{t}^{2}（0≤t＜5）}\\{-\frac{2}{5}（t-5）^{2}+10（5≤t≤10）}\end{array}\right.$；
∴当t=5时，S_最大值=10．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、坐标与图形性质、二次函数的最值问题等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）和（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果．